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Dr. Matthias Leinweber: Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bezugnehmend auf Ihre Bemerkung zum berühmt-berüchtigten Ziegen-Problem in der Ausgabe Ihres immer wieder anregenden Sport-Stammtischs vom 9. Nobember möchte ich einige (eventuell erhellende) Anmerkungen machen:

Sie schreiben in der vorletzten Kolumne: “Was mich sofort an unser Ziegen-Problem erinnerte, das mich genauso ratlos und schon mehr als eine Generation von Anstoß-Lesern schier verrückt gemacht hat.” Dem kann abgeholfen werden, und zwar sowohl formal als auch mit Hilfe des von Ihnen zitierten sprichwörtlichen gesunden Menschenverstandes.

Zunächst zum mehr formalen (wenn auch nicht besonders schwierig einzusehenden) Teil: Beim Ziegen-Problem  handelt es sich um ein typisches Beispiel für eine so genannte bedingte Wahrscheinlichkeit. Was bedeutet dieser terminus technicus? Die scheinbar kontraintuitive Schlussfolgerung beim Ziegen-Problem, dass der Kandidat seine Gewinnchancen erhöhen kann, wenn er von der  einen zur anderen noch verschlossenen Tür wechselt, hängt mit dieser bedingten Wahrscheinlichkeit zusammen. Diese setzt nämlich voraus, dass vor dem betrachteten Ereignis (d.h. welche Tür der Quizmaster öffnet) bereits etwas anderes passiert ist (d.h. die Wahl der Tür des Kandidaten, hinter der er den Preis vermutet)

Ganz anderes verhält es sich zum Beispiel bei den klassischen statistischen Experimenten, die jeder noch aus der Schule kennt: Jede Augenzahl bei dem Wurf eines Würfels hat a priori die Wahrscheinlichkeit p = 1/6, jeder Münzwurf a priori die Wahrscheinlichkeit p = 1/2 (Kopf oder Zahl), unabhängig vom Verhalten des Experimentators.

Bei den bedingten Wahrscheinlichkeiten  kann der Kandidat jedoch durch eigenes Zutun  – quasi durch freien Willen – seine Erfolgsaussichten beträchtlich erhöhen – im vorliegenden Fall der drei Türen gar verdoppeln: Von p = 1/3 (vor dem Öffnen einer Tür des Quizmasters) auf p = 2/3 (danach), wenn er nur immer konsequent zu der anderen Tür wechselt, die noch verschlossen ist. Die simple Formel  p = (w + 1)/3 macht dies deutlich, wobei w die Wahrscheinlichkeit bedeutet, mit der der Kandidat die Tür wechselt: Für w = 0 (d.h.  konsequent starrköpfig) bleibt seine Gewinnaussicht bei p = 1/3, für w = 1 (konsequent wechselnd) verdoppelt sie sich auf p = 2/3.

Nun zum gesunden Menschenverstand. Dass im vorliegenden Beispiel  das Ergebnis diesem scheinbar widerspricht, liegt lediglich an der geringen Zahl der Türen, d. h. an der Tatsache, dass der Quizmaster nur eine Tür öffnet. Stellen Sie sich nun vor, lieber Herr Steines, dass Sie das Spiel nicht nur mit drei, sondern mit hundert Türen spielen. Nur hinter einer von ihnen steckt der Preis, hinter den 99 anderen die  Ziegen. Sie wählen nun eine der Türen aus, zum Beispiel Tür Nr. 47. Anschließend öffnet der Quizmaster alle übrigen Türen bis auf z. B. die Tür Nr. 82, die er, scheinbar zufällig, übergeht. Nun bietet er Ihnen an, zu dieser Tür zu wechseln. Was glauben Sie, ist wahrscheinlicher: Dass sich hinter der von Ihnen rein zufällig ausgewählten Tür Nr. 47 der Preis verbirgt, oder hinter Tür Nr. 82?

P.S. Der von Ihnen erwähnte medizinische Sachverhalt eingangs der vorletzten Kolumne hat gar nichts mit dem Ziegen-Problem,  d.h. bedingten Wahrscheinlichkeiten,  zu tun. Hier handelt es sich offensichtlich um eine simple quadratische Abhängigkeit der Krebskranken von den ursprünglichen Befunden, denn (0.2) hoch 2 = 0.04.

(Dr. Matthias Leinweber/Wettenberg)

 

Das “hoch 2″ im letzten Satz habe ich mangels einer – wie im Original-Brief – hochgestellten kleinen 2 in meinem Blog-Programm geschrieben. Ich hoffe, dabei nichts falsch gemacht zu haben.

 

 

 

 

 

 

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