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Scheinbar paradoxe Chancenverwertung (Anstoß vom 31. Januar)

Damit wir endlich mal vom alten »Ziegenproblem« abkommen, stellte uns Professor Dr. Manfred Börgens von der TH Friedberg vor zwei Wochen diese Aufgabe: »Mannschaft A hat in der ersten Halbzeit eine schlechtere Chancenverwertung als Mannschaft B. In der zweiten Halbzeit ist es genauso. Im ganzen Spiel hat aber Mannschaft A eine bessere Chancenverwertung als Mannschaft B. Kann das sein?«
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Ich streckte gleich die Waffen und setzte auf die Schwarmintelligenz der Leser. Und da lag ich richtig. Andreas Tempelfeld und Ralf Protzel waren die ersten, die »völlig korrekte Lösungen« (Prof. Börgens) mailten. Ralf Protzel weiß: »Das Ganze ist als Simpson-Paradoxon bekannt« und »wird (neben anderen Matheproblemen) in ähnlicher Form auch im Buch ›Mathematikverführer‹ von Christoph Drösser (ISBN 978-3-499-62426-1) recht anschaulich beschrieben.« Der Lösungsweg unseres Lesers, der tief in die Materie einsteigt, ist zu komplex und umfangreich, um ihn hier nachzuvollziehen, ist aber in der »Mailbox« des gw-Blogs »Sport, Gott & die Welt« nachlesbar.
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Kürzer ist die Version von Andreas Tempelfeld. Aber zuvor – Falls Sie, liebe Leser, nachträglich mitrechnen wollen – ein Tipp von Prof. Börgens: »Es gibt nun mal reale Phänomene, die manchen auf den ersten Blick paradox erscheinen. Die Sache mit der Chancenverwertung hat nur sehr wenig mit höherer Mathematik zu tun und schon gar nichts mit Spitzfindigkeiten.« Sein Rat: »Einfach mal ein wenig ausprobiert, wie das funktionieren könnte.«
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Haben Sie? Verblüfft? »Die Verblüffung stammt wohl daher, dass man intuitiv dazu neigt, die Prozentwerte beider Halbzeiten zu mitteln«, was »unzulässig ist« (Prof. Börgens). Und hier die Lösung mittels eines allerdings sportlich unbefriedigenden Beispiels von Andreas Tempelfeld: »Also spielt die SGE beim FCB. In der ersten Halbzeit stürmt nur die Heimmannschaft, wobei sie sich fünf Torchancen erarbeitet, aber aufgrund der tollen Leistung von Oka Nikolov nur eine verwertet. Die SGE hat eine Chance, diese wird aber leider vergeben. In der ersten Halbzeit hat also die SGE eine Chancenverwertung von 0:1 = 0%, der FCB eine von 1:5 = 20%. Die zweite Halbzeit wird zu einem offenen Schlagabtausch. Beide Mannschaften erarbeiten sich je fünf Torchancen, Oka ist jetzt nicht mehr so gut und kassiert fünf Gegentreffer. Die SGE selbst trifft vier der fünf Chancen ins gegnerische Gehäuse. Daher ergibt sich nun für die SGE eine Quote von 4:5 = 80%, für den FCB aber 5:5 = 100%. Leider verliert die SGE das Spiel mit 4:6 und hat in beiden Halbzeiten die schlechtere Chancenverwertung. In einer Wertung aber gewinnt sie: Insgesamt hat die SGE eine Chancenverwertung von (0+4): (1+5) = 4 : 6 = 66,7%, der FCB aber nur von (1+5): (5+5) = 6 : 10 = 60%. Ich finde, diese Aufgabe zeigt anschaulich, dass es statistische Kennzahlen gibt, die keine wirkliche Aussagekraft haben, mit denen man höchstens meinungsmachende Artikel in Boulevardblättern konstruieren kann.«
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Meine Rede! Aber könnte man nicht ein sportlich erfreulicheres Beispiel finden? Uwe Streiber hat es: »In der 1. Halbzeit des Spiels Eintracht Frankfurt gegen Bayern München schießt Bayern 1 mal auf das Eintracht-Tor und trifft. Chancenverwertung 100%. Die Eintracht schießt 100 mal auf das Bayern-Tor, und trifft 99 mal. Chancenverwertung 99%. In der 2. Halbzeit schießen die Bayern 2 mal aufs Eintracht-Tor und treffen 1 mal. Chancenverwertung 50%. Die Frankfurter schießen wieder 100 mal auf das Bayern-Tor und treffen nur 49 mal. Chancenverwertung 49%. In beiden Halbzeiten haben also die Bayern die bessere Chancenverwertung. Die Chancenverwertung der Bayern für das gesamte Spiel ist 2:3, also knapp 67%. Und bei der Eintracht? Da liegt sie bei 148:200. Das sind 74%.«
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Wie dieses Spiel ausgeht, kann sogar ich ausrechnen. Das nenne ich mal ein schönes Ergebnis! (gw)

Baumhausbeichte - Novelle