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Chancenauswertungsproblem von Prof. Dr. Manfred Börgens: Eine Haarspalterei von Walther Roeber, ein Lösungstipp von Prof. Dr. Wilfried Hausmann und zwei Lösungen von Andreas Tempelfeld und Ralf Protzel

Und damit zum haarspalterischen Teil… Erste, ganz einfache, Lösung: Zwei Eigentore der hoch überlegenen Mannschaft, bei nur einem selbst geschossenen Tor. Dumm gelaufen, soll aber vorkommen.
Zweite Variante: Eine Mannschaft verwandelt ihre einzige Chance, also 100% Chancenverwertung. Die andere Mannschaft erzielt z.B. aus dem Gewühl, ohne echte Torchance, ein Tor. Mathematisch ist Division durch Null nicht zulässig, dennoch ein Unentschieden. Der Herr Professor hat nicht gesagt, dass dabei ein Sieg herauskommen muss.
Dritte Möglichkeit: Hoch überlegene Mannschaft erzielt wegen schlechter Chancenverwertung in der regulären Spielzeit nur ein Tor. Da es sich um ein Pokal-Rückspiel handelt und das Hinspiel bereits 1:0 endet, kommt es zur Verlängerung – ohne Tore – und damit zum Elfmeterschießen, das die Mannschaft ohne Chance für sich entscheiden kann. Voilá! Oder q.e.d. Oder so ähnlich… (Walther Roeber)

 

Prof. Börgens von der THM hat da eine interessante Knobelaufgabe gestellt, um vom Ziegenproblem abzulenken. Sicher fallen einem wegen der Unglaubwürdigkeit dieser Aussage gleich einige Lösungsansätze an, die vermutlich auch Herr Röber als die »haarspalterischen« bezeichnet: gibt es nur zwei Halbzeiten, gehört die Nachspielzeit zur Halbzeit, gab es Verlängerung oder haben die beiden Halbzeiten gar in zwei verschiedenen Spielen stattgefunden?
Mit der Beschreibung des fiktiven Spiels SGE gegen FCB möchte ich zeigen, wie einfach es geschehen kann, dass eine Mannschaft, die in beiden Halbzeiten eines Fußballspiels die schlechtere Chancenverwertung hat, über das ganze Spiel hinweg gesehen aber die bessere hat. Damit nicht A gegen B spielt, verwenden wir lieber bekannte Größen:
Also spielt die SGE beim FCB. In der ersten Halbzeit stürmt nur die Heimmannschaft, wobei sie sich fünf Torchancen erarbeitet, aber aufgrund der tollen Leistung von Oka Nikolov nur eine verwertet. Die SGE hat eine Chance, diese wird aber leider vergeben. In der ersten Halbzeit hat also die SGE eine Chancenverwertung von 0:1=0%, der FCB eine von 1:5=20%.
Die zweite Halbzeit wird zu einem offenen Schlagabtausch. Beide Mannschaften erarbeiten sich je fünf Torchancen, Oka ist jetzt nicht mehr so gut und kassiert fünf Gegentreffer. Die SGE selbst trifft vier der fünf Chancen ins gegnerische Gehäuse. Daher ergibt sich nun für die SGE eine Quote von 4:5=80%, für den FCB aber 5:5=100%. Leider verliert die SGE das Spiel mit 4:6 und hat in beiden Halbzeiten die schlechtere Chancenverwertung.
In einer Wertung aber gewinnt sie: insgesamt hat die SGE eine Chancenverwertung von (0+4) : (1+5) = 4 : 6 = 66,7%, der FCB aber nur von (1+5) : (5+5) = 6 : 10 = 60%. Dieses Verhältnis kann man leicht noch viel deutlicher gestalten, einfach mal mit den Zahlen experimentieren!
Ich finde, diese Aufgabe zeigt anschaulich, dass es statistische Kennzahlen gibt, die keine wirkliche Aussagekraft haben, mit denen man höchstens meinungsmachende Artikel in Boulevardblättern konstruieren kann. (Andreas Tempelfeld)

 

Werfen Sie doch nicht bei jeder mathematischen Aufgabe sofort die Flinte ins Korn – oder ist das Kalkül? Nur wenn Sie sich selbst als hilflos geben, können Sie mit dem Thema die Kolumnenleser aktivieren. Sonst würden Sie die Mehrzahl wohl eher abschrecken.
Wie auch immer, hier zwei Tipps zur Bearbeitung der Aufgabe meines Kollegen Manfred Börgens:
1. Versuchen Sie es mit dem Ansatz: Der Schlüssel liegt darin, dass in einer Halbzeit die Chancenzahl der beiden Mannschaften annähernd gleich und in der anderen sehr unterschiedlich ist.
2. Arbeiten Sie mit konkreten Zahlen, also: In der ersten Halbzeit habe Mannschaft A … Chancen, daraus werden … Tore. Das ergibt eine Chancenauswertung von … usw.
Hat das zum Ziel geführt? Wenn nein finden Sie ganz unten (ein paar Seiten weiterblättern) einen Tipp 1b. (Prof. Dr. Wilfried Hausmann)

(Der  Tipp 1b: Beide Mannschaften haben in der ersten Hälfte eine hohe Chancenzahl und eine hohe Chancenauswertung, in der zweiten haben beide eine deutlich geringere Chancenauswertung, aber nur Mannschaft B hat noch viele Chancen)

 

 

Jetzt haben Sie meine grauen Zellen doch noch mal in Schwung gebracht, und ich ein wenig mein altes Wissen durchforstet: Das Ganze ist als Simpson-Paradoxon bekannt. Meine Erklärungsvariante orientiert sich an einem Beispiel aus der Praxis:
Der Bayernkader (angenommen insg. 20 Feldspieler) veranstaltet ein kleines Hallenduell 5 gegen 5. Dazu wird der 20er-Kader in zwei Zehnermannschaften aufgeteilt: Die zehn besten Spieler in die A-Mannschaft und die anderen 10 Spieler in die  B-Mannschaft. Innerhalb der Mannschaften wird nochmals nach Güte getrennt => die fünf Besten einer Mannschaft bilden jew. ein Team (A1 und B1) und die fünf schlechtesten bilden das andere »Mannschafts-Team« (A2 und B2).
In der ersten Halbzeit spielt nun A1 gegen B2, die zweite Halbzeit spielt B1 gegen A2. Naturgemäß dürfte das erste Spiel einseitiger verlaufen (die fünf besten Spiele gegen die fünf schlechtesten Spieler) als die zweite Halbzeit (hier liegt die Qualität der beiden Teams näher beisammen). Nun zum Paradoxon:
Einseitige erste Halbzeit (A1 vs. B2):
A1 60 Chancen und 15 Tore (ist ja ein Hallenspiel) entsprechen 25 % Erfolgsquote
B2 2 Chancen und 1 Tore => rd. 66 % Erfolgsquote
Ausgeglichene zweite Halbzeit (B1 vs. A2):
A2 20 Chancen und 1 Tore => 5 %
B1 20 Chancen und 2 Tore => 10 %
Endergebnis nach Toren 16:3 für das A-Team mit folgender Chancenauswertung:
Team A 80 Chancen und 16 Tore => 20 Prozent
Team B 22 Chancen und 3 Tore => 13,5 Prozent
Gründe für das Paradoxon: Die »verborgene Variable«; hier die ungleiche Verteilung der erzielten Tore und Chancen innerhalb der beiden Halbzeiten.
Das Ganze wird (neben anderen Matheproblemen) in ähnlicher Form auch im Buch »Mathematikverführer« von Christoph Drösser (ISBN 978-3-499-62426-1) recht anschaulich beschrieben. (Ralf Protzel)

P.S.: Man könnte sicher auch die heutige Partie Bayern – Fürth (erste Halbzeit) und die gestrige Partie Schalke gegen Hannover (als zweite Halbzeit) verwenden. Naturgemäß dürfte in den beiden Partien die Einseitigkeit (Bayern-Fürth) und Ausgeglichenheit (Schalke-Hannover) der oben genannten Variante entsprechen, und damit das Verhältnis Chancen zu Toren ähnlich verlaufen. Evtl. haben Sie ja Zugriff auf die Spieldaten und rechnen mal selbst nach.

Erster Nachtrag von Ralf Protzel:
Ich denke, Sie haben meinen Fehler bemerkt (rd. 66 % Quote bei Mannschaft B2). Ich hatte die Ausgangssituation (3 Chancen, 2 Tore) ein wenig geändert und vergessen das Ergebnis zu korrigieren. – Nee, hatte ich nicht.

Zweiter Nachtrag:
Ich habe spaßeshalber die beiden von mir genannten Spiele recherchiert (www.bundesliga.de – jeweils unter Spielstatistik). Wäre Fürth heute ein Torerfolg vergönnt gewesen, hätte sich bei den aufgeführten Torschüssen (sofern man die als Chance ansehen möchte) folgende Situation dargestellt:

Schalke – 96
Schalke: 5 Tore bei 14 Schüssen => rd. 36 Prozent Erfolgsquote
96: 4 Tore bei 9 Schüssen => rd. 44 % Quote

Bayern – Fürth
Bayern: 2 Tore bei 22 Schüssen => rd. 9 % Quote
Fürth: 1 Tor bei 5 Schüssen => 20 % Quote

In der Summe (wenn man das gesamte Schalkespiel als erste Halbzeit nimmt, das Bayernspiel als zweite Halbzeit):
Schalke/Bayern 7 Tore bei 36 Schüssen => rd. 19 %
96/Fürth 5 Tore bei 14 Schüssen => rd. 36 %

Das Ergebnis wäre also noch extremer: Beide Halbzeiten UND die Gesamtstatistik in der Chancenverwertung verloren, nach Toren aber trotzdem gewonnen.

Zusammen mit dieser Erkenntnis lässt sich auch erhellen, warum die statistische Größe Ballbesitz nicht automatisch zum Sieg führt – die in diesen Statistiken verborgene aber entscheidende Variable Torerfolg wird »übersehen«. Nur so lässt sich »erklären«, wie Chelsea die CL gewinnen und die Schweden zum 4:4 kommen konnten.

Und schon sind wir wieder bei der alten Erkenntnis – der Verlauf von Fußballspielen lässt sich wunderbar weissagen, die oftmals überraschenden Ergebnisse hintennach aber noch viel schöner von Netzer, Scholl & & Co. verklugfiedeln.

Schöne Grüße (die letzten zu diesem Thema) und bitte als unn als weider mit dem Stammtisch. (Ralf Protzel)

Wird gemacht. Danke.

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